[시계열] SARIMA 모델(Seasonal AutoRegressive Integrated Moving Average)

1. 소개

• 소개
  • 시계열 데이터의 계절성을 처리하기 위해 만든 모델
  • ARIMA 모델을 확장한 모델
• 사용 분야
  • 계절적 추세와 패턴이 있는 시계열 데이터 분석이 가능하므로, 비즈니스와 경제 분야에서 많이 사용함

 

2. 수식

2.1. AR(p) 구성 요소

$$X_t=c+{\varphi }_1{X}_{t-1}+{\varphi }_2{X}_{t-2}+...+{\varphi }_p{X}_{t-p}+{\epsilon }_t$$

 

2.2. I(d) 구성 요소 (차분)

$${\mathrm{\Delta }}^d{X}_t=(1-B{)}^d{X}_t=X_t-X_{t-d}={\epsilon }_t$$

 

2.3. MA(q) 구성 요소

$$X_t=c+{\epsilon }_t+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}+{\theta }_2{\epsilon }_{t-2}+...+{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}$$

 

2.4. Seasonal AR(P) 구성 요소

$$X_t=c+{\mathrm{\Phi }}_1{X}_{t-s}+{\mathrm{\Phi }}_2{X}_{t-2s}+...+{\mathrm{\Phi }}_P{X}_{t-Ps}+{\epsilon }_t$$

 

2.5. Seasonal MA(Q) 구성 요소

$$X_t=c+{\epsilon }_t+{\mathrm{\Theta }}_1{\epsilon }_{t-s}+{\mathrm{\Theta }}_2{\epsilon }_{t-2s}+...+{\mathrm{\Theta }}_Q{\epsilon }_{t-Qs}$$

 

2.6. SARIMA(p, d, q)(P, D, Q, s)

• (P, D, Q)는 계절성 AR, 차분, MA 차수
• s는 계절성 주기

$${\mathrm{\Delta }}^d{X}_t=c+{\varphi }_1{\mathrm{\Delta }}^d{X}_{t-1}+{\varphi }_2{\mathrm{\Delta }}^d{X}_{t-2}+...+{\varphi }_p{\mathrm{\Delta }}^d{X}_{t-p}+{\epsilon }_t+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}+{\theta }_2{\epsilon }_{t-2}+...+{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}+{\mathrm{\Phi }}_1{\mathrm{\Delta }}^D{X}_{t-s}+{\mathrm{\Phi }}_2{\mathrm{\Delta }}^D{X}_{t-2s}+...+{\mathrm{\Phi }}_P{\mathrm{\Delta }}^D{X}_{t-Ps}+{\mathrm{\Theta }}_1{\epsilon }_{t-s}+{\mathrm{\Theta }}_2{\epsilon }_{t-2s}+...+{\mathrm{\Theta }}_Q{\epsilon }_{t-Qs}$$

 

3. 추가 설명

s값은 계절성 주기를 나타내며, 일반적으로 1년 단위로 설정한다.

예를 들어 s=365인경우, 1년마다 반복되는 계절성을 고려하는 모델을 의미하며, 분기별, 1주일단위 등으로 응용해서 사용할 수 있다.