[시계열] SARIMA 모델(Seasonal AutoRegressive Integrated Moving Average)

1. 소개

• 소개
  • 시계열 데이터의 계절성을 처리하기 위해 만든 모델
  • ARIMA 모델을 확장한 모델
• 사용 분야
  • 계절적 추세와 패턴이 있는 시계열 데이터 분석이 가능하므로, 비즈니스와 경제 분야에서 많이 사용함

 

2. 수식

2.1. AR(p) 구성 요소

$$ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \phi_2X_{t-2} + ... + \phi_pX_{t-p} + \varepsilon_t $$

 

2.2. I(d) 구성 요소 (차분)

$$ \Delta^d X_t = (1 - B)^d X_t = X_t - X_{t-d} = \varepsilon_t $$

 

2.3. MA(q) 구성 요소

$$ X_t = c + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1} + \theta_2\varepsilon_{t-2} + ... + \theta_q\varepsilon_{t-q} $$

 

2.4. Seasonal AR(P) 구성 요소

$$ X_t = c + \Phi_1X_{t-s} + \Phi_2X_{t-2s} + ... + \Phi_PX_{t-Ps} + \varepsilon_t $$

 

2.5. Seasonal MA(Q) 구성 요소

$$ X_t = c + \varepsilon_t + \Theta_1\varepsilon_{t-s} + \Theta_2\varepsilon_{t-2s} + ... + \Theta_Q\varepsilon_{t-Qs} $$

 

2.6. SARIMA(p, d, q)(P, D, Q, s)

• (P, D, Q)는 계절성 AR, 차분, MA 차수
• s는 계절성 주기

$$ \Delta^d X_t = c + \phi_1\Delta^d X_{t-1} + \phi_2\Delta^d X_{t-2} + ... + \phi_p\Delta^d X_{t-p} + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1} + \theta_2\varepsilon_{t-2} + ... + \theta_q\varepsilon_{t-q} + \Phi_1\Delta^D X_{t-s} + \Phi_2\Delta^D X_{t-2s} + ... + \Phi_P\Delta^D X_{t-Ps} + \Theta_1\varepsilon_{t-s} + \Theta_2\varepsilon_{t-2s} + ... + \Theta_Q\varepsilon_{t-Qs}
$$

 

3. 추가 설명

s값은 계절성 주기를 나타내며, 일반적으로 1년 단위로 설정한다.

예를 들어 s=365인경우, 1년마다 반복되는 계절성을 고려하는 모델을 의미하며, 분기별, 1주일단위 등으로 응용해서 사용할 수 있다.